द्विघात समीकरण के मूल सिद्धांत

नमस्कार,

द्विघात समीकरण लगभग हर बैंकिंग परीक्षा के सबसे पसंदीदा विषयों में से एक है. द्विघात समीकरणों के सवाल संख्यात्मक अभियोग्यता सेक्शन में पूछे जाते है|

आम तौर पर दो द्विघात समीकरणों को दो अलग चरों में दिया जाता है|

चरों के बीच के सम्बन्ध को जानने के लिए हमें दोनों द्विघात समीकरणों को हल करना होता है|

मानिये की हमारे पास x और y नामक दो चर है, तो उनके बीच का सम्बन्ध निचे दिए ऑप्शन्स में से एक है:

  • x>y
  • x<y
  • x=y या x और y के बीच सम्बन्ध स्थापित नहीं हो सकता
  • x≥y
  • x≤y

विभिन्न चिन्हों के मतलब:

द्विघात समीकरणों की गहराई में उतरने से पहले, हमें दो चरों के बीच के सम्बन्ध पहचानने में काम आने वाले कुछ मूल ऑपरेशन्स को समझना होगा|

  • ‘>’ चिन्ह: यह चिन्ह दर्शाता है की बाएं ओर का चर का मूल्य, दाहिने ओर के चर से अधिक है|

उदा: x > Y का मतलब है की x जाहिर तौर पे y से बड़ा है

  • ‘<‘ चिन्ह: ये चिन्ह दर्शाता है की दाहिने ओर का चिन्ह, बाएं ओर के चर से अधिक है|

उदा: x < Y का मतलब है की y जाहिर तौर पे x से बड़ा है

  • ‘=’ चिन्ह: ये चिन्ह दर्शाता है की दोनों चर(दाएं और बाएं ) का मूल्य एक सामान है|

उदा: x = y का मतलब X और y का मूल्य एक समान है|

  • ‘≥’ चिन्ह : यह चिन्ह यह दर्शाता है की बाएं ओर के चर का मूल्य, दाहिने ओर के चर से यातो अधिक है या बराबर है|

उदा: x ≥ y का मतलब x का मूल्य यातो y से बड़ा है या बराबर है|

  • ‘≤’ चिन्ह: ये चिन्ह यह दर्शाता है की बाएं ओर का चर, दाहिने ओर के चर से यातो तो छोटा है या बराबर है|

उदा: x≤y का मतलब x या तो y से छोटा है या बराबर है|

द्विगाहट समीकरण का सामान्य रूप

ax2 + bx + c = 0

इस द्विघात समीकरण का मतलब है की, चर की शक्ति ज्यादा से ज्यादा ‘२’ हो सकती है, और हमे ax2 हर द्विघात समीकरण में मिलेगा|

b और c का मूल्य 0 हो सकता है, पर a का मूल्य कभी 0 नहीं हो सकता|

जब हम द्विघात समीकरण का हल निकालेंगे, तब हमें समीकरण के दो मूल्य मिलेंगे. इन दो मूल्यों को समीकरण की जड़ें कहा जाता है. समीकरण की जड़ें हमेशा समीकरण को संतुस्ट करती है. तो कभी शक हो, तो हम उत्तर की जांच, प्राप्त हुई मूल्यों को समीकरण में दाल कर चेक कर सकते है, और अगर समीकरण का मूल्य 0 आये तो समझ लीजिये की जड़ों का मूल्य सही कैलकुलेट हुआ है.

आइये अब जानते है, की जड़ों का मूल्य लेकर कैसे हम एक द्विघात समीकरण प्राप्त कर सकते है, जिससे हमारा एक द्विघात समीकरण के बुनियादी गठन का कांसेप्ट और भी क्लियर हो जाये.

मान लीजिये की हमें दोनों जड़ों का मूल्य पता है, जड़ x=α और x=β.

या हम ऐसे भी लिख सकता है (x-α)=0 और (x-β)=०

अगर हम इन दोनों समीकरणों का गुणाकर करें, तो हमें मिलेगा

(x-α)*(x-β)=0,

x2– αx- βx+ αβ=0,

x2 – (α+β)x+ αβ=0,

इस तरह प्राप्त हुआ समीकरण ही द्विघात समीकरण है, जिसकी जड़ें α और β है.

द्विघात समीकरण की जड़ें प्राप्त करने के तरीके:

पहला तरीका:

एक आम द्विघात समीकरण है,

ax2+ bx + c = 0

or, x2+(b/a)x+(c/a)=0

आइये अब इन दोनों समीकरणों की तुलना करते है.

तुलना करने के पश्च्यात, हमें मिलेगा:

(α+β) = -(b/a)

αβ = c/a

उदा:

x2+9x+20=0

a=1,b=9,c=20

(α+β) = -9/1 = -9

αβ = 20/1 = 20

तो अब हमें, यह सोचना होगा की किन दो मूल्यों के गुणाकार से हमें 20 प्राप्त होता है, और उन मूल्यों को जोड़ने से -9 प्राप्त होता है

इसका जवाब है -5 और -4, तो ये दो मूल्य ही x2+9x+20 = 0 इस समीकरण की जड़ें है.

दूसरा तरीका:

x2+(4+5)x+(4*5) = 0

x2+4x+5x+4*5 = 0

x(x+4)+5(x+4) = 0

(x+4)(x+5) = 0

x = -4 and x = -5

तीसरा तरीका:

इस बार हम फार्मूला का प्रयोग करके के द्विघात समीकरण की जड़ें निकालेंगे:

x=[-b± √{b2-4ac}]/2a

x=[-9± √{92-4*1*20}]/2*1

x=[-9± √{81-80}]/2

x=[-9± √1]/2

x=[-9± 1]/2

x=(-9+1)/2 and x=(-9-1)/2

x=-8/2 and x=-10/2

x=-4 and x=-5

ऊपर दिए गए तीन तरीकों का इस्तेमाल करके हम द्विघात समीकरणों की जड़ ढूंढ सकते है.

उदा-1: 2 +11x + 9 = 0

उत्तर:

2x2 +2x + 9x + 9 = 0

2x(x+1) +9(x+1) = 0

(x+1)(2x+9)=0

x = -9/2 = -4.5 and x = -1

उदा-2: 4 x2 +7x -2 = 0

उत्तर:

4x2 +7x -2

x=[-b± √{b2-4ac}]/2a

x=[-7± √{72-4*4*-2}]/2*4

x=[-7± √{49+32}]/8

x=[-7± √81]/8

x=[-7± 9]/8

x=(-7-9)/8 and x=(–7+9)/8

x=-16/2 and x=2/8

x = -2 and ¼

x=-2 and 0.25

परीक्षा में द्विघात समीकरण पे आधारित पूछे जाने वाले प्रश्न

टिप: निचे दिए गए प्रश्नों में दो समीकरण (1) और (2) है. समीकरणों को सुलझा कर उत्तर निकले:

Q-1) I. x2 – 5x + 6 = 0

II. y2+y – 6 = 0

उत्तर:

समीकरण 1:

x2 – 5x + 6 = 0

x2 – 3x – 2x + (3*2) = 0

x(x-3) -2(x-3) = 0

(x-3)(x-2) = 0

x =2 और 3

समीकरण 2:

y2 +y – 6 = 0

y2 +3y-2y-6 = 0

y (y+3) -2(y+3) = 0

(y+3)(y-2)=0

y= -3 और 2

नंबर लाइन का प्रयोग करके हम साफ़-साफ़ देख सकते है की x >y पर x और y दोनों में एक पॉइंट कॉमन है. तो x और y के बीच का सम्बन्ध x≥y.

Q-2) I. x2 +2x -3 = 0

II. y2+7y + 12 = 0

उत्तर:

समीकरण I:

x2 + 2x-3 = 0

x2 + 3x – x -3 = 0

x(x+3) -1(x+3) = 0

(x+3)(x-1) = 0

x = -3 और 1

समीकरण II:

y2 +7y + 12 = 0

y2+4y+3y + 12 = 0

y(y+4)+3(y+4)=0

(y+3)(y+4)=0

y=-4 और -3

नंबर लाइन का प्रयोग करके हम देख सकते है की X और y का सम्बन्ध x≥y है.

Q-3) I. x2 = 49

II. y = √49

उत्तर:

समीकरण I:

x2 = 49

x =-7 and 7

समीकरण II:

y = √49

y = 7

नम्बर लाइन का प्रयोग कर हम बता सकते है ही x और y का सम्बन्ध y≥x है.

Q-4) I. x2 +7x +10 = 0

II. 2 y2-7y + 6 = 0

उत्तर:

समीकरण I:

x2 +7x+10 = 0

x2 +5x+2x+10 = 0

x(x+5)+2(x+5) = 0

(x+2)(x+5) = 0

x =-5 और -2

समीकरण II:

2 y2 -7y + 6 = 0

2 y2 -4y-3y + 6 = 0

2y(y-2)-3(y-2)=0

(y-2)(2y-3)=0

Y=3/2 और 2

y=1.5 और 2

नंबर लाइन का प्रयोग करके हम बता सकते है की x और y का सम्बन्ध y > x

Q-5) I. x2 +7x +10 = 0

II. 2y2 = 50

उत्तर:

समीकरण I:

x2 +7x+10 = 0

x2 +5x+2x+10 = 0

x(x+5)+2(x+5) = 0

(x+2)(x+5) = 0

x =-5 और -2

समीकरण II:

2y2 = 50

y2 = 25

y=-5 और 5

नंबर लाइन का प्रयोग करके हम ये बता सकते है की x और y के मूल्य एक ही एरिया में है, इसलिए सम्बन्ध स्थापित नहीं किया जा सकता है.

द्विघात समीकरण के रिलेटेड कुछ अहम पॉइंट्स:

  1. तीन तरीकों में से किसी एक का इस्तेमाल करके समीकरणों की एक-एक कर जड़ निकाले.
  2. जड़ निकल जाने के पश्च्यात, उन्हें नंबर लाइन पर अंकित करे.
  3. नंबर लाइन पर ५ संभावनाएं हो सकती है,
  • अगर x , y के शुरू होने के काफी पहले खत्म हो रहा है तो x और y का सम्बन्ध है: x < y
  • अगर y , x के शुरू होने के काफी पहले खत्म हो रहा हो ,तो x और y का सम्बन्ध है: y < x
  • अगर y , x के खत्म होने वाले पॉइंट पर शुरू हो रहा है तो , x और y के बीच का सम्बन्ध है: x≤y.
  • अगर x , y के खत्म होने वाले पॉइंट पर शुरू हो रहा है तो , x और y के बीच का सम्बन्ध है: x≥y.
  • अगर y , x के ख़तम होने से पहले शुरू हो रहा है तो, x और y के बीच कोई सम्बन्ध स्थापित नहीं किया जा सकता.

आपकी परीक्षा के लिये शुभकामनायें….

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