घन और वर्ग को कैसे ज्ञात करें ?

यह श्रेणी सरलीकरण पर आधारित है| चूँकि, सरलीकरण, मात्रात्मक योग्यता का एक महत्वपूर्ण भाग है, यहाँ हम सीखेंगे कि, वर्ग, घन, वर्गमूल एवं घनमूल को कैसे ज्ञात किया जाता है| इस श्रेणी में हम, जोड़ना, घटाना, गुणन एवं विभाजन भी शामिल कर रहे हैं|

वर्ग कैसे ज्ञात करते हैं?

प्रकार I: (80-100): माना, आधार 100 है| आधार में दो शून्य हैं इसलिए, 2 अंकों तक जोड़ा जाएगा|
उदा.1: 972
आधार 100 है|
क्रम 1: आधार एवं संख्या के बीच अंतर ज्ञात कीजिये|
100 -97 = 3
क्रम  2: संख्या में से अंतर घटाइये|
97-3 = 94
क्रम 3: अंतर का वर्ग कीजिये|
32 = 09
उत्तर: 94_09
उदा.2: 872 इसकी गणना करने के लिए, हम समान तरीके का प्रयोग करेंगे| सर्वप्रथम 100 से  87 का अंतर लीजिये|
100 – 87 = 13
87 में से 13 घटाने पर, 87 = 87 – 13 = 74 (यह वर्ग की प्रथम दो संख्याएं होंगी|)
अब, 13 का वर्ग लेने पर, यह 169 है|
अब, आपको यहाँ ध्यान देने की आवश्यकता है: यह वर्ग एक तीन अंकों की संख्या है, परन्तु, हम 100 से गणना कर रहे हैं, जिसके लिए हम आधार 2 मानकर चल रहे हैं(100 एम् 2 शून्य)|
अब, हम दहाई एवं इकाई के स्थानों पर अंक को यथावत् रखेंगे (जो कि, 69 है|), सैकड़ा के स्थान का अंक (जो कि, 1 है), 87 एवं 13 के अंतर(जो कि, 74 है) पर स्थानांतरित कर दिया जाएगा और इसमें जोड़ा जाएगा| यह 74 + 1 = 75 बन जाता है|
इसलिए, हमारा वर्ग  7569 होगा|
प्रकार II (100-120): माना आधार 100 है|
उदा.3: 1072
क्रम  1. 107 एवं 100 के बीच का अंतर = 7
क्रम 2. इसे 107 में जोड़ेंगे, जो कि, 107+7 = 114 है|
क्रम 3. 7 का वर्ग ज्ञात करेंगे = 49
उत्तर  11449
112 का वर्ग लेने पर, यह ज्ञात करने हेतु, हम समान प्रक्रिया का प्रयोग करेंगे| सर्वप्रथम, 100 से 112 का अंतर लेंगे|
112-100 = 12
12 को 112 में जोड़ेंगे = 112+12 = 124
अब, 12 का वर्ग लेंगे,  यह 144 है|
अब, आपको यहाँ ध्यान देने की आवश्यकता है: यह वर्ग एक 3 अंकों की संख्या है, परन्तु, हम 100 से गणना कर रहे हैं, जिसके लिए हम आधार 2 लेंगे(100 में 2 शून्य)|
अब, यहाँ, दहाई एवं इकाई के स्थान पर अंक यथावत् रहेंगे (जो कि, 44 है)| सैकड़ा के स्थान पर अंक (जो कि, 1 है), 112 एवं 12 के जोड़ के स्थान पर स्थानांतरित किये जायेंगे(जो कि, 124 है) और इसे इसमें जोड़ा जाएगा| यह 124 + 1 = 125 बन जाता है|
इसलिए, हमारा वर्ग 12544 होगा|
प्रकार III (50 -70)|यहाँ आधार 50 होगा|
25+से अतिरिक्त _ अतिरिक्त मान का वर्ग
512 = 25+1 _ (12) = 26_01 = 2601
59= 25+9 _ (92) = 34_81 = 3481
622 = 25+12_ (122) = 37_144 (यह गलत है)
हमें, 144 से 1 को 37 में स्थानांतरित करना होगा, इसलिए यह 38 हो जाएगा|
इसलिए, 622 = (37+1)_44 = 3844
682 = 
25+18_(182) = 43_324 = (43+3)_24 = 4624
इसी प्रकार, 3 को 324 से 43 में स्थानांतरित करेंगे, इसलिए, यह 46 हो जाएगा और उत्तर 4624 होगा|

प्रकार IV (30-50): यहाँ, आधार 50 होगा|
25 –50 से घटाने पर  _ घटाए हुए मान का वर्ग
462 = 25 – 4 _ 16 = 2116
492 = 25 – 1 _ (01) = 2401
432 = 25 – 7 _ (49) = 1849
342 = 25 – 16 _(256) = 9256 (यह गलत है)
हमें 256 से 2 को 9 में स्थानांतरित करना होगा, ताकि यह 11 बन जाए|
इसलिए, 342 = 1156
36= 25-14_(196) = 1296
प्रकार V (71-79)
712
50 के तरिएक द्वारा : (25+21)_ 21= 46_441 = 5041
100 के तरीके द्वारा : (71-29)_(29)2 = 42_841 = 5041
732 = (25+23)_232 = 48_529 = 5329
792 = (79-21)_212 = 58_441 = 6241

इकाई स्थान पर अंक 5 वाली संख्याओं का गुणन

अब, हम सीखेंगे, कि, दो संख्याओं को गुणा कैसे करते हैं, जिनके इकाई स्थान पर अंक 5 हों:
प्रकार I: जब संख्याएं समान हो
65×65 = (6×7)_25 = 4225 (अंत में 25 को स्थिर रखेंगे, 6 को 7 से गुणा करेंगे, जो कि 42 है)
85×85 = (8×9)_25 = 7225 (अंत में 25 को स्थिर रखेंगे, 8 को 9 से गुणा करेंगे, जो कि 72 है)
115×115 = (11×12)_25 = 13225 (अंत में 25 को स्थिर रखेंगे, 11 को 12  से गुणा करेंगे, जो कि 132 है)

प्रकार II: जब संख्याओं में 10 का अंतर हो
65×75 = (6×8)_75 = 4875 (अंत में 75 को स्थिर रखेंगे, 6 को 8 से गुणा करेंगे, जो कि 48 है)
85×95 = (8× 10)_75 = 8075 (अंत में 75 को स्थिर रखेंगे, 8 को 10  से गुणा करेंगे, जो कि 80 है)
115×125 = (11×13)_75 = 14375 (अंत में 75 को स्थिर रखेंगे, 11 को 13 से गुणा करेंगे, जो कि 143 है)

प्रकार III: जब संख्याओं में 20 का अंतर हो
65×85 = (6×9)_125 = 54_125 (अंत में 125 को स्थिर रखेंगे और 6 को 9 से गुणा करेंगे, जो कि, 54 है)
विशेष: इसमें 125 से 1 को 55 में स्थानांतरित करना होगा| इसलिए, उत्तर 5525 होगा|
85×105 = (8×11)_125 = 88_125 = 8925
115×135 = (11×14)_125 = 154_125 = 15525

प्रकार IV: जब संख्याओं में 30 का अंतर हो
65×95 = (6×10)_175 = (अंत में 175 को स्थिर करेंगे और 6 को 10 से गुणा करेंगे, जो कि, 60 है)
इसमें, 175 से 1 को 60 में स्थानांतरित करना होगा| इसलिए, उत्तर 6175 होगा|
85×115 = (8×12)_175 = 96_175 = 9775

विभिन्न संख्याओं का गुणन

प्रकार1: जब दो संख्याओं का अंतर सम हो
गुणन = (मध्य संख्या)2 – (अंतर/2)2
19×21 = 202 – (2/2)2 = 400-1 = 399
47×53 = 502 – (6/2)2 = 2500-9 = 2491
73×77 = 752 – (4/2)2 = 5625-4 = 5621

प्रकार 2: क्रमागत संख्या का गुणन:
छोटी संख्या का वर्ग  + छोटी संख्या
12×13 = 122+12 = 144+12 = 156
48×49 = 482+48 = 2304+48 = 2352
यह सूत्र किस प्रकार लिया गया है:
12×13 = 12×(12+1)= 12× 12+12 = 122+12

प्रकार  3: विभिन्न संख्याएं (>100)
103×108
+8     +3 एवं (8×3) = 24
(103+8)_ (+3)×(+8) = 11124 या (108+3)_8×3 = 11124
109×117
 +17   +9
(109+17)_(+9)×(+17) = 126_153 = 12753

प्रकार 4: विभिन्न संख्याएं (<100)
96×91
-9   -4
(96-9)_(-9)×(-4) = 8736 या (91-4)_9×4 = 8736 
92×87
-13  -8
(92-13)_(-13)×(-8) = 79_104 = 8004

प्रकार 5: विभिन्न संख्याएं (<100>)
103×96
-4     +3
(103-4)_(-4×3) = 99_ (-12) = 9900-12= 9888
या  (96+3)_(-4×3) = 99_-12 = 9900-12 = 9888

घन कैसे ज्ञात करें?

संख्याओं का घन ज्ञात करने हेतु, निम्न क्रम का प्रयोग करें:
क्रम 1: चार अक्षरों वाली एक कतार में दहाई स्थान के अंक का घन लिखते हैं| उत्तर की कतार में अन्य तीन संख्याओं को, एक संख्या के अंकों के बीच के अनुपात के, ज्यामितीय अनुपात में लिखा जाना चाहिए|
क्रम 2:  2nd एवं 3rd संख्या की दो बार की बारंबारता को अगली कतार में 2nd एवं 3rd संख्या के ठीक नीचे लिख लीजिये|
क्रम 3: फिर दोनों कतारों को जोड़ें|
उदाहरण: 133
हल :
क्रम 1:  1 के घन (जो की दहाई स्थान पर है) को लिख लीजिये| और साथ ही, 1 एवं 3 के बीच का अनुपात 1:3 है, इसलिए, प्रथम कतार  1   3     9   27 है|
क्रम 2:  2nd एवं 3rd की दो बार बारंबारता को लिख लीजिये| (जो कि, 6 एवं 18 है|)
क्रम 3: नयी कतारों को जोड़ें

      1        3         9        27
 6       18
    
  2        11      29        27
उत्तर  : 2197
उदाहरण : 243
क्रम 1:     8       16       32         64
क्रम 2:              32       64
क्रम 3:    13      58       102         64
उत्तर : 13824
उदाहरण : 193
क्रम 1:  1      9       81         729
क्रम 2:        18     162
क्रम 3:  6     58      315          729
उत्तर : 6859
उदाहरण : 923
क्रम 1:  729    162     36        8
क्रम 2:           324     72
क्रम 3:  778    496     108        8
उत्तर : 778688

परीक्षाओ के लिए शुभकामनाएँ |

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